ANÁLISIS COMPLEJO, ANÁLISIS VECTORIAL
El análisis
complejo (o teoría de las funciones de variable compleja)
es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas. Una función es holomorfa en
una región abierta del plano complejo si está definida en esta
región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de
esta región abierta con derivadas continuas.
El que una función compleja sea diferenciable en el
sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidadusual
en los reales. Por ejemplo, toda función holomorfa se puede representar como
una serie de potencias en algún disco abierto
donde la serie converge a la función. Si la serie de potencias converge en todo
el plano complejo se dice que la función es entera. Una definición relacionada
con función holomorfa es función analítica: una función compleja sobre los
complejos que puede ser representada como una serie de potencias. De modo que
toda función holomorfa también cumple la definición de función analítica pero
no toda función analítica es holomorfa. En particular, las funciones holomorfas
son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo
que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones
elementales como lo son, por ejemplo, algunos polinomios,
la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas
HISTORIA
El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las
matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX.
Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y
muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en
particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones
en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiempos
modernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los
dibujos de fractales,
producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más
popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras aplicaciones
importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.ORIA
ANÁLISIS VECTORIAL
El cálculo
vectorial, análisis
vectorial o cálculo
multivariable es un campo de las matemáticas referidas
al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones.
Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de
fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y
la física.
Consideramos los campos
vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos
escalares, que asocian un escalar a cada punto
en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar:
a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la
misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de
velocidad.
Cuatro operaciones son importantes en el cálculo
vectorial:
- Gradiente:
mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente
de un campo escalar es un campo vectorial.
- Rotor o
rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de
un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
- Divergencia: mide la tendencia de un
campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la
divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
- Laplaciano: relaciona el
"promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra
magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.
La mayoría de los resultados analíticos se entienden más
fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo
vectorial forma un subconjunto.
HISTORIA
El estudio de los vectores se origina con la invención de
los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los
desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio
físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los
cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y
aplicarlos fácilmente.
Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte
vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo
tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían
manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis
Vectorial.
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