ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES, FUNDAMENTO DEL CALCULO

ECUACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es aquella ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables independientes.¹​ O bien una ecuación que involucre una función matemática {\displaystyle u} de varias variables independientes {\displaystyle x,y,z,t,...} y las derivadas parciales de {\displaystyle u} respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses d'Alembert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.

{\displaystyle F(x_{1},\cdots x_{n},u,{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}u,\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}u,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}u,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}u,\cdots )=0\,}

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO 

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.¹​ Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow,²​ denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.