FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA
FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA
A finales del siglo XIX, la hegemonía de la geometría
euclidiana había sido desafiada por la geometría no euclidiana y la geometría
proyectiva. El primer intento notable de reorganizar el estudio de la geometría
fue hecho por el matemático alemán Felix Klein y publicado en Erlangen en 1872.
En su Programa de Erlanger, Klein propuso que la geometría
euclidiana y no euclidiana se consideraran casos especiales de la geometría
proyectiva. En cada caso, las características comunes que, según Klein, las
hacían geometrías eran que había un conjunto de puntos, llamado “espacio”, y un
conjunto de transformaciones mediante las cuales las figuras podían moverse en
el espacio sin alterar su propiedades esenciales. Por ejemplo, en la geometría
plana euclidiana el espacio es el plano familiar y las transformaciones son
rotaciones, reflexiones, traslaciones y sus composiciones, ninguna de los
cuales cambia ni la longitud ni el ángulo, las propiedades básicas de las
figuras en la geometría euclidiana. Las diferentes geometrías tendrían
diferentes espacios y diferentes grupos, y las figuras tendrían diferentes
propiedades básicas.
Klein produjo un relato que unificaba una gran clase de geometrías -en
términos generales, todas aquellas que eran homogéneas en el sentido de que
cada pieza del espacio se parecía a cualquier otra pieza del espacio. Esto
excluía, por ejemplo, a las geometrías sobre superficies de curvatura variable,
pero producía un paquete atractivo para el resto y satisfacía la intuición de
los que sentían que la geometría proyectiva de alguna manera era básica. Siguió
pareciendo el enfoque correcto cuando aparecieron las ideas del matemático
noruego Marius Sophus Lie, y parecía haber una buena conexión entre la
clasificación de Lie y los tipos de geometría organizados por Klein
Los matemáticos ahora podían preguntarse por qué habían creído que la
geometría euclidiana era la única cuando, de hecho, existían muchas geometrías
diferentes. El primero en aceptar esta pregunta con éxito fue el matemático
alemán Moritz Pasch, quien argumentó en 1882 que el error había sido confiar
demasiado en la intuición física. En su opinión, un argumento en matemática
debe depender de su validez no en la interpretación física de los términos
involucrados, sino en criterios puramente formales. De hecho, el principio de
la dualidad violó el sentido de la geometría como una formalización de lo que
se creía acerca de los puntos y líneas (físicos). No se creía que estos
términos fueran intercambiables
Las ideas de Pasch llamaron la atención del matemático
alemán David Hilbert, que con el matemático francés Henri Poincaré llegó a
dominar la matemática a principios del siglo XX. Al preguntarse por qué la
matemática -y en particular la geometría- produce resultados correctos, llegó a
sentir cada vez más que no era debido a la lucidez de sus definiciones. Más
bien, la matemática funcionaba porque sus términos (elementales) carecían de
sentido. Lo que la mantenía en la dirección correcta era sus reglas de inferencia.
Las pruebas eran válidas porque se construían mediante la aplicación de reglas
de inferencia, según las cuales las nuevas afirmaciones podían ser declaradas
verdaderas simplemente porque podían derivarse, por medio de estas reglas, de
axiomas o de teoremas previamente probados. Los teoremas y axiomas fueron
vistos como declaraciones formales que expresaban las relaciones entre estos
términos.
Las reglas que rigen el uso de los términos matemáticos
eran arbitrarias, argumentó Hilbert, y cada matemático podía elegirlas a
voluntad, siempre que las decisiones tomadas fueran consistentes con sí mismas.
Un matemático produjo sistemas abstractos sin restricciones por las necesidades
de la ciencia y, si los científicos encontraron un sistema abstracto que encajaba
en una de sus preocupaciones, podían aplicar el sistema con seguridad
con el conocimiento de que era lógicamente consistente.
Hilbert primero se entusiasmó con este punto de vista
(presentado en su Grundlagen der Geometrie [1899, Fundamentos
de la geometría]) cuando vio que no sólo conducía a una manera clara de
clasificar las geometrías en la jerarquía de Klein según los diferentes
sistemas de axiomas, sino que también se cumplía para nuevas geometrías.
Por primera vez, había una manera de discutir la geometría que estaba más allá
incluso de los términos muy generales propuestos por Riemann. No todas estas
geometrías han continuado siendo de interés, pero la moral general que Hilbert
primero dibujó para la geometría fue pronto dibujada para el conjunto
de la matemática.
Comentarios
Publicar un comentario