LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Este es un buen momento para retomar la idea de la geometría diferencial (término usado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856 - 1928, en 1894), pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida puede decirse que era el trabajo realizado por Gauss en la construcción de mapas y la llamada geodesia, que apoyaría un nuevo enfoque sobre la naturaleza del espacio. Es decir:

"El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 365]

La geometría diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y son sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del Cálculo. Gauss, en su Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas (Investigaciones generales sobre superficies curvas) ofreció la nueva idea que usaría Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.

Puede resultar interesante hacer aquí una digresión casi filosófica sobre la naturaleza de la geometría. Para Riemann, al igual que para Gauss, la geometría debía asociarse con la mecánica; por eso, buscó demostrar que los axiomas específicos de Euclides eran empíricos y no autoevidentes y necesarios en sí mismos sin tomar en cuenta la acción de la experiencia. Su estrategia fue buscar qué era lo realmente a priori en la geometría del espacio y estudiar sus consecuencias. Las otras propiedades del espacio no eran a priori. Con ello podría concluir que serían de naturaleza empírica. Es decir, buscar lo realmente necesario y autoevidente y, luego, hacer ver que lo que quedaba fuera tenía que ser empírico.

En su investigación, Riemann concluyó que, para estudiar el espacio, debía hacerse localmente y no como un todo: el espacio se debía analizar por pedazos. Eso implicaba, por ejemplo, que no se podía ofrecer resultados aplicables para todo el espacio. ¿ Cómo resumir la geometría diferencial? El estudio de las propiedades de las curvas y superficies en el espacio en una variedad diferencial, que es uno de esos pedazos a estudio. Las variedades eran el concepto más general y éstas poseían un conjunto de propiedades aplicables a cualquier variedad. Este conjunto era el de las propiedades necesarias y autoevidentes que Riemann quería encontrar. Se trataba de una geometría con n dimensiones, y donde había ciertas reglas. El espacio "normal'' tenía 3

La teoría de geometrías de más de 3 dimensiones había sido desarrollada por el matemático alemán Hermann Grassmann en una obra de 1844: Ausdehnungslehre. Sus trabajos abrieron el camino al análisis vectorial para espacios afines y métricos. También Cayley había usado el concepto de espacio de n dimensiones, y Plücker también hizo contribuciones. Tomaría más tiempo, sin embargo, para que se le diera plena importancia a este tipo de espacios en la comunidad de matemáticos.

Para Riemann el espacio físico era un caso específico de una variedad diferencial. Por lo tanto, la geometría del espacio no podría ser deducida del conjunto de propiedades generales de las variedades. ¿Cómo obtener entonces las propiedades que distinguen el espacio físico de otras variedades de tres dimensiones? Respuesta: por medio de la experiencia. Es la experiencia la que debe decidir si las propiedades específicas que sintetiza la geometría euclidiana corresponden a la realidad o no. Las implicaciones filosóficas y científicas son aquí muchas. Por ejemplo, los axiomas de la geometría euclidiana podrían corresponder o no con el mundo circundante. Pero, ¿quién lo debe determinar? No la geometría, sino la física.

¿Más consecuencias? Sin duda. Aquí se introducía una visión del espacio radicalmente diferente de la que incluso hoy en día nos resulta normal. Vamos a usar un listado de propiedades del espacio físico dadas por el matemático inglés William K. Clifford para contribuir a entender aun más lo que suponía esta aproximación en la geometría:

"Riemann ha demostrado que existen diferentes clases de líneas y superficies, de la misma manera que existen diferentes clases de espacios de tres dimensiones y que sólo podemos averiguar por la experiencia a cuál de estas clases pertenece el espacio en que vivimos. En particular, los axiomas de la geometría plana son ciertos dentro de los límites de experimentación en la superficie de una hoja de papel y, sin embargo, sabemos que la hoja está realmente cubierta de un cierto número de lomas y surcos, sobre los que (al no ser cero la curvatura total) estos axiomas no son ciertos. De manera análoga, dice que aunque los axiomas de la geometría del sólido son ciertos dentro de los límites de experimentación para porciones finitas de nuestro espacio, todavía no tenemos motivo para concluir que son ciertos para porciones muy pequeñas; y si por ello puede obtenerse alguna explicación de los fenómenos físicos, tendremos razones para concluir que ellos no son ciertos para regiones muy pequeñas del espacio.

Deseo indicar aquí un método por el cual estas especulaciones pueden aplicarse a la investigación de los fenómenos físicos. Mantengo, en efecto:

(1) Que, de hecho, las porciones pequeñas del espacio son de naturaleza análoga a las pequeñas colinas de una superficie que en promedio es plana; es decir, que las leyes ordinarias de la geometría no son válidas en ellas.

(2) Que esta propiedad de curvatura o torsión está pasando continuamente de una porción a otra del espacio en forma de onda.

(3) Que esta variación de la curvatura del espacio es lo que realmente sucede en los fenómenos que llamamos movimiento de materia, ya sean ponderables o etéreos.

(4) Que en el mundo físico no sucede otra cosa que esta variación, sujeta (posiblemente) a la ley de continuidad. Estoy intentando un método general para explicar las leyes de doble refracción a partir de estas hipótesis, pero no he llegado a ningún resultado suficientemente decisivo para comunicarlo. [Clifford, William Kingdon: "Teoría de la materia en el espacio'', p. 159]

En este espacio la curvatura varía de lugar en lugar y, además, debido al movimiento de la materia, la curvatura cambia también de tiempo en tiempo.

¿Conclusión? Hay variación debida al espacio y al tiempo. Entonces: es imposible que las leyes de la geometría euclidiana se puedan aplicar en un espacio de este tipo. Una asociación entre espacio y materia, como ésta que se encuentra en las conclusiones de Clifford y Riemann, empujó en la dirección de la teoría de la relatividad.

Otro de los conceptos relevantes usado por Riemann en 1854 fue el de curvatura de una variedad, mediante el cual trató de caracterizar el espacio euclidiano y los espacios en los cuales las figuras pueden ser movidas sin que cambien en forma y magnitud. Se trataba de un concepto que era una generalización de otro similar usado por Gauss para las superficies.

Después de Riemann fueron las geometrías no euclidianas de curvatura constante las que más interés generaron. El mismo Riemann había sugerido en 1854 que un espacio de curvatura constante positiva en dos dimensiones se podía realizar en la superficie de una esfera, en la cual las geodésicas se tomaran como las rectas. Riemann nos plantea esto de la siguiente manera:

"La consideración de las superficies con medida de curvatura constante puede servir para una ilustración geométrica. Es fácil ver que las superficies cuya medida de curvatura es constante siempre puede arrollarse alrededor de una esfera cuyo radio sea igual a 1 dividido por la raíz de la medida de curvatura; pero, para abarcar toda la variedad de estas superficies, demos a una de ellas la forma de una esfera y a las restantes la configuración de superficies de revolución que la tocan en el ecuador. Las superficies con media de curvatura mayor que esa esfera la tocarán entonces desde adentro y tomarán una forma similar a la parte de la superficie de un anillo apartada del eje; se podrían arrollar a zonas de esferas con radio menor, aunque rodeándolas más de una vez. Las superficies con medidas de curvatura positivas menores se obtendrán si de superficies esféricas con radio mayor se recorta una porción limitada por dos semicírculos máximos y se unen las líneas de corte. La superficie con medida de curvatura nula será la superficie cilíndrica sobre el ecuador; pero las superficies con medida de curvatura negativa tocarán este cilindro desde fuera, y tendrán la forma de la parte de la superficie de un anillo vuelta hacia el eje. Si se piensan estas superficies como lugares de fragmentos de superficie que se mueven en ellas, igual que consideramos el espacio como lugar de cuerpos, entonces en todas estas superficies los fragmentos de superficie se pueden mover sin estirarse. Las superficies con medida de curvatura positiva siempre se pueden configurar de tal manera que los fragmentos de superficie también puedan moverse sin curvarse, a saber como superficies esféricas, pero las que la tienen negativa no. Fuera de esta independencia de los fragmentos de superficie respecto a la posición, también encontramos en la superficie con medida de curvatura nula una independencia de la dirección respecto a la posición, que no se presenta en las demás superficies.'' [Bernhard Riemann: "Sobre la hipótesis en que se funda la geometría'' (1 854), en [Consejo Superior de Investigaciones Científicas: Bernhard Riemann, Riemanniana selecta, Madrid: CSIC, 2 000, p. 13]]

Veamos, además, cómo nos explica esto el gran Poincaré:

"He aquí cómo lo ha logrado. Consideremos una figura sobre una superficie cualquiera. Imaginemos que dicha figura está trazada sobre una tela flexible pero inextensible aplicada sobre la superficie, de tal manera que cuando la tela se desplace y se deforme, las diversas líneas de la figura puedan cambiar de forma, sin variar de longitud. En general, esa figura flexible pero inextensible no podrá desplazarse sin abandonar la superficie; pero hay ciertas superficies particulares para las cuales un movimiento semejante sería posible: son las superficies de curvatura constante.'' [Poincaré, Henri: Filosofía de la ciencia, p. 177]

Y añade:

"Esas superficies de curvatura constante son de dos clases:

Unas son de curvatura positiva, y pueden ser deformadas de manera que puedan ser aplicables sobre una esfera. La geometría de dichas superficies se reduce entonces a la geometría esférica, que es la de Riemann.

Las otras, son de curvatura negativa. Beltrami ha hecho ver que la geometría de estas superficies no es otra que la de Lobachevski. Las geometrías de dos dimensiones de Riemann y de Lobachevski se encuentran así, vinculadas a la geometría euclidiana.'' [Poincaré, Henri: Filosofía de la ciencia, p. 177 y 178]

Detengámonos un poco más. La ruta más corta entre dos puntos en el plano euclidiano es el segmento de una recta. Una recta es un ejemplo de geodésica. Pero en la esfera la ruta más corta entre dos puntos es un arco de un círculo grande; el círculo grande es la geodésica. Una geometría así se llama doble elíptica o, a veces, elíptica.

Un detalle por comentar, la relación entre la investigación teórica y la aplicada:

"En geometría el intercambio constante entre la matemática pura y la aplicada continuó durante todo el siglo XIX. Por ejemplo, la cartografía y la geodesia se pueden asignar a cualquiera de las dos ramas; también sus resultados en geometría diferencial son matemáticas puras o aplicadas según que se tenga más interés en la geometría misma o en la interpretación que le dé la cosmología y las ciencias físicas. Pero lo de menos es la etiqueta con que se designa algún proceso particular; lo que interesa es el intercambio continuo entre la geometría creada con fines prácticos y científicos y la que se desarrolló de una manera pura.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, pp. 433-434]

Finalmente, la apreciación de de Lorenzo:

"Lo que puede destacarse, aquí, de la creación de la Geometría diferencial es, por un lado, y como ya he indicado anteriormente, que la misma supone una inversión del Cálculo diferencial supeditado, ahora, en su propio desarrollo y sobre todo en el terreno de las ecuaciones diferenciales, a las previas concepciones geométricas a las que ha de servir. Por otro lado, y aunque se conserve como objetivo central del estudio geométrico la figura y no el espacio en el cual se encuentra sumergida, la simple posibilidad de establecer y estudiar las propiedades intrínsecas obliga a plantearse desde una perspectiva nueva el papel de ese espacio, obliga a cuestionar las propiedades del mismo y, con ello, obliga a un cambio de perspectiva en cuanto a la naturaleza en sí de dicho espacio.(...)

Constituye, de esta forma, la Geometría diferencial un elemento revolucionario para la concepción del espacio, más aún que las restantes geometrías, dado que éstas mantenían la imagen de un espacio real intocable en el cual se encontraban las figuras, cuyas propiedades 'reales' tenía que develar el matemático bien con unos métodos sintéticos puros, bien con unos medios de coordenadas no intrínsecas. Aspecto revolucionario en cuanto a la ideología -y que no he visto suficientemente destacado, por darse preferencia a las discusiones 'filosóficas' provocadas por las geometrías noeuclídeas, de repercusión inferior en el interior de la práctica teórica matemática-, no ya en cuanto al contenido o plano interior, en el cual se convierte en otra 'disciplina' más de dicho hacer, prácticamente independiente de las restantes, aunque en su origen se haya centrado en los mismos motivos y métodos que los demás marcos que aparecen tras la ruptura de los entornos de 1827: invertir y hallar la razón. [de Lorenzo, J.: La matemática y el problema de su historia