TEORÍA DE CONJUNTOS, TOPOLOGIA
TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las
propiedades y relaciones de los conjuntos:
colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los
conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.1
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para
construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a las
herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la
actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de
la teoría de Zermelo-Fraenkel es
suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per
se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y
relaciones de los conjuntos infinitos.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la
existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus
razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor,
que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en
la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard
Bolzano e influido por Richard
Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana
de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege,
propició los trabajos de Bertrand
Russell, Ernst Zermelo, Abraham
Fraenkel
El término topología se utiliza para
identificar a un área de la matemática que estudia la continuidad y
otros conceptos originados a partir de ella. Se trata de una especialización
vinculada a las propiedades y características que poseen los
cuerpos geométricos y que
se mantienen sin alteraciones gracias a cambios continuos, con
independencia de su tamaño o apariencia.
Cabe resaltar que las funciones continuas de la
matemática son aquellas que, en los puntos cercanos del dominio, experimentan
pequeñas variaciones en los valores. A nivel gráfico, estas funciones suelen
estar en condiciones de dibujarse sin necesidad de levantar el lápiz del papel.
Otro concepto central de la topología es el espacio
topológico, una estructura matemática que permite definir de manera formal
a la continuidad, conectividad y convergencia, entre otros conceptos.
La topología, por lo tanto, es la especialización que
hace foco en el estudio de las funciones continuas y los espacios topológicos.
Esta disciplina trabaja con los objetos de distintas formas, siempre que
no se interrumpa la mencionada continuidad. En palabras del lenguaje cotidiano,
podría decirse que la topología tiene permitido doblar, estirar, retorcer o
encoger los elementos, pero sin quebrarlos ni segmentar aquello que esté unido
ni pegar lo que esté separado.
A nivel topológico, un triángulo es lo mismo que una
circunferencia: uno puede ser transformado en el otro de manera continua, sin
necesidad de cortar o pegar. En cambio, una circunferencia nunca puede ser
transformada en un segmento desde el punto de vista topológico, ya
que dicha transformación requeriría de romper la continuidad de la figura
Entre las ramas de la topología, es posible
distinguir general (también llamada conjuntista),
la diferencial y la algebraica.
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