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FUNDAMENTOS DE LA  GEOMETRÍA A finales del siglo XIX, la hegemonía de la geometría euclidiana había sido desafiada por la geometría no euclidiana y la geometría proyectiva. El primer intento notable de reorganizar el estudio de la geometría fue hecho por el matemático alemán Felix Klein y publicado en Erlangen en 1872. En su  Programa de Erlanger , Klein propuso que la geometría euclidiana y no euclidiana se consideraran casos especiales de la geometría proyectiva. En cada caso, las características comunes que, según Klein, las hacían geometrías eran que había un conjunto de puntos, llamado “espacio”, y un conjunto de transformaciones mediante las cuales las figuras podían moverse en el espacio sin alterar su propiedades esenciales. Por ejemplo, en la geometría plana euclidiana el espacio es el plano familiar y las transformaciones son rotaciones, reflexiones, traslaciones y sus composiciones, ninguna de los cuales cambia ni la longitud ni el ángulo, las propiedad...

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA  Se denomina  geometría no euclidiana  o  no  euclidiana , a cualquier sistema formal de  geometría  cuyos  postulados  y proposiciones difieren en algún asunto de los establecidos por  Euclides  en su tratado  Elementos . No existe un solo sistema de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles, pueden distinguirse tres formulaciones 1 ​ de geometrías: La  geometría euclidiana  satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero (es decir se supone en un espacio plano por lo que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo da siempre 180°.). La  geometría hiperbólica  satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curva...

Este es un buen momento para retomar la idea de la geometría diferencial (término usado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856 - 1928, en 1894), pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida puede decirse que era el trabajo realizado por  Gauss  en la construcción de mapas y la llamada geodesia, que apoyaría un nuevo enfoque sobre la naturaleza del espacio. Es decir: "El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 365] La geometría diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varía...

PROBABILIDAD La  probabilidad  es una medida de la  certidumbre  asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un  número  entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %). Una forma tradicional de estimar algunas probabilidades sería obtener la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de experimentos aleatorios, de los que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones  suficientemente  estables. Un suceso puede ser improbable (con probabilidad cercana a  cero ), probable (probabilidad intermedia) o seguro (con probabilidad uno). La  teoría de la probabilidad  se usa extensamente en áreas como la  estadística , la  física , la  matemática , las  ciencias , la  administración ,  contaduría ,  economía  y la  filosofía  para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discr...

   ANÁLISIS  COMPLEJO   El  análisis complejo  (o  teoría de las funciones de variable compleja ) es la rama de las  matemáticas  que en parte investiga las  funciones holomorfas , también llamadas  funciones analíticas . Una función es holomorfa en una región abierta del  plano complejo  si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas. El que una  función compleja  sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la  diferenciabilidad usual en los reales. Por ejemplo, toda función holomorfa se puede representar como una  serie de potencias  en algún disco abierto donde la serie converge a la función. Si la serie de potencias converge en todo el plano complejo se dice que la función es entera. Una definición relacionada con función holomorfa es función ana...

El   álgebra simbólica es   la fase moderna del algebra, inaugurada por francisco vieta en el siglo XVI, quien fue el primero en usar literales para las incógnitas y los parámetros de las ecuaciones. la palabra algebra procede de la palabra alj-br, que significa restauración y reducción, el álgebra simbólica se encuentra precedida por el por el álgebra teórica   y el álgebra sincopada, en el álgebra teórica (2000- 1600) no existían palabras abreviadas ni símbolos especiales por ejemplo si queríamos efectuar una operación 40*10+30 = 430 Tendríamos que escribir 40 por 10 más 30 igual a430 esto parece resultar simple, claro siempre y cuando solo sea utilizado para operaciones cortas o no tan complejas, imaginan tener que expresar un polinomio muy extenso que conste al menos 15 términos con 3 incógnitas con cada termino y cada termino con grado mayor que dos vaya que sería un gran problema es bueno saber que ya nosotros no tuvimos que pasar por un caso como este en po...